拉格朗日方程 - 百科知识

拉格朗日方程

【百科名称】：拉格朗日方程
【英文解释】：Lagrange equation
【分类】：综合百科
【正文】：
对完整系统（见约束）用广义坐标表示的运动微分方程组，通常指第二类拉格朗日方程。简称拉氏方程。由J.-L. 拉格朗日首先导出而得名。可写为（ i ＝1，2，…， N ），式中 T 为用各广义坐标 q i 和广义速度 q i 表示的系统的动能； Q i 为对应 q i 的广义力。方程式的个数等于系统的自由度 N 。保守系统中存在势函数 V （ q 1 ， q 2 ，…， q N ； t )，则广义力，又因 V 中不含 q i ，即＝0，故完整保守系统的拉格朗日方程为（ i ＝1，2，…， N )，式中 L ＝ T － V 为拉格朗日函数，又称动势，它等于系统的动能与势能之差。上式与变分问题中的欧拉方程形式相同，由此可导出哈密顿原理。若已知系统的动能和作用于该系统的广义力，或已知系统的拉格朗日函数，则可从拉氏方程解出广义坐标作为时间的函数即系统的运动规律。拉氏方程采用广义坐标，对有约束的系统，其广义坐标一定比直角坐标个数少，从而拉氏方程的数目比牛顿方程少，方程总阶数也较低，易于求解。由于拉氏方程中不包含约束力，并可根据约束条件适当选择广义坐标，因而可简化求解质点系动力学的问题，约束力可在拉氏方程解出后再用牛顿方程求出。

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